Les log

Petit log est le logarithme décimal (il existe aussi le logarithme népérien) C’est un outil mathématique incontournable dans diverses disciplines comme la physique (décibels) ou la chimie (pH), l’audio, la radioélectricité, ….

le log de quelque chose ne peut être calculé que si le quelque chose est strictement supérieur à zéro. Soit positif et jamais égal à zéro.  Les mathématiciens disent strictement supérieur à zéro ou encore   x > 0.\r\n\r\n

Le logarithme décimal est la fonction inverse de dix à la puissance quelque chose.

log (x) = a  alors x =10^a

log 1 = 0
log 10 = 1
log 100 = log 10² = 2

log 1000 = log 10³ = 3

log 1 = 0

A première approche le log d’une puissance de 10 indique le nombre de zéro. log 1 pas de zéro donc 0 log 10, 1 zéro donc 1, log 100 2 zéro donc 2 etc.\

Une des propriétés remarquables c’est que

 le log (a x b) = log a + log b et pour conséquence que

 le log (a / b)  = log a – log b

log (1/10) = log 1 – log 10= 0 – 1 = -1

log (1/100) = log 1 – log 100 = 0 -2 = -2

log (1/1000) = log 0.001 = -3

Qu’elle utilisation en fait-on ?

log \sqrt {2} = 0.15  
log (\sqrt {2} \times \sqrt {2}) = 0.15 +0.15 = 0.3  
log 2 = 0.3
log (10/2) = log 10 -  log 2 = 1-0.3 = 0.7

ab	ab	log a + log b	log (ab)
1			0
\sqrt{2}			0.15
2	(\sqrt {2} \times \sqrt {2})	0.15+0.15	0.3
4	2 * 2	0.3+0.3	0.6
5	10/2	1-0.3	0.7
8	2 * 4	0.3+0.6	0.9
10			1
16	4 * 4	0.6+0.6	1.2
20	2 * 10	0.3+1	1.3
25	5 *5	0.7+0.7	1.4
40	4 * 10	0.6+1	1.6
50	5 *10	0.7+1	1.7
80	4 *20	0.6+1.3	1.8
100	10 * 10	1+1	2
200	2 * 100	0.3+2	2.3
400	4 * 100	2+0.6	2.6

Rappel : 

Le niveau d’un son est donné par la formule N en dB est égal à 10 log (I / I0) 

• I en W.m-2.

• I0 = 10-12 W.m-2.

En reprenant les chiffres de la dernière colonne du chapitre précédent et en multipliant par 10 on obient.

log (I/I0)  en dB	I/I0
0	1
1.5	\sqrt2
3	2
6	4
7	5
9	8
10	10
12	16
13	20
14	25
16	40
17	50
18	80
20	100
23	200
26	400

Un bruit qui est de +3 dB est un bruit de 2 x I0 la réciproque est vrai un bruit de -3dB est un bruit de I0 / 2.

Autre exemple un bruit de +23 dB est un bruit de 200 x I0

Les dB électriques

Le dBmV. :

Nous avons vu que l’on pouvait caractériser un système de réception en donnant les valeurs du niveau de réception en point S mais aussi avec la valeur du champs électrique  en mv .

Dès lors on peut travailler en dBmv la référence est alors 1mV.  La formule est alors 20 log (U / 1mV)

Vous remarquez que ce n’est pas 10 log mais 20 log.

20 log (U/U0)  en dBmV	U en 1mV
0	1
3	\sqrt2
6	2
12	4
14	5
18	8
20	10	10 mV
24	16
26	20
28	25
32	40
34	50
36	80
40	100	100 mV
46	200
52	400

Les dBm :

L’existence du dBm est due à l’apparition du téléphone. Les lignes étant au départ d’une impédance de 600 ohms, 0 dBm correspond à un signal de 0.775 volt soit une puissance dissipée de 1mW. 
0 dBm correspond donc à 0.775V (pour autant que l’impédance de charge soit de 600 ohms). 

Remarque: avec le temps, cette notion de 600 ohms a “disparu”. On garde alors 0 dBm = 0.775V quelque soit la charge. 

Les dBu et dBv : En “oubliant” cette histoire d’impédance, les dBu et dBv sont apparus. 0 dBv = 0 dBu = 0.775 volt. 

Les dBV :
Le 0.775V n’étant pas forcément le plus facile à manipuler lors de calculs, le dBV (grand V !!!) est apparu. 0 dBV correspnd à un niveau électrique de 1 volt. 

0 dBm = 0 dBu = 0 dBv = 0.775 V 
0 dBV = 1 volt 

ACTIVITES:

• En audiofréquence professionnelle, quel est le niveau de référence?

• A quelles tensions correspondent les niveaux suivant :

+3dBu, +6dBv, +10dBm, +20dBu, +40dBm, -3dBu, -6dBv, -10dBm, -20dBm, -40dBv.

• En audiofréquence grand public, quel est le niveau de référence?

• A quelles tensions correspondent les niveaux suivant:

+3dBV, +6dBV, +10dBV, +20dBV, +40dBV, -3dBV, -6dBV, -10dBV, -20dBV, -40dBV.

• Présenter les réponses précédentes sous la forme d’un tableau comparatif.